phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài viết lách Cách viết lách phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số với cách thức giải cụ thể gom học viên ôn tập dượt, biết phương pháp thực hiện bài bác tập dượt Cách viết lách phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Bạn đang xem: phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cách viết lách phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số rất rất hay

Bài giảng: Cách viết lách phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm

Cho hàm số nó = f(x) sở hữu đồ gia dụng thị (C) và điểm. M₀ (x₀; y₀) ∈ (C)

Tiếp tuyến của đồ gia dụng thị (C) bên trên điểm M₀ sở hữu dạng nó = f'(x₀ )(x - x₀ ) + y₀

Trong đó:

 Điểm M₀ (x₀; y₀) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y₀ = f(x₀)).

 k = f'x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến.

 Chú ý:

 Đường trực tiếp ngẫu nhiên trải qua M₀ (x₀; y₀) sở hữu thông số góc k, sở hữu phương trình

y = k(x - x₀ ) + y₀

 Cho hai tuyến đường trực tiếp Δ₁:y = k₁ x + m₁ và Δ₂:y = k₂ x + m₂

Lúc đó:

2. Điều khiếu nại xúc tiếp của nhị đồ gia dụng thị

Cho nhị hàm số nó = f(x),(C) và nó = g(x),(C')

(C) và (C' ) xúc tiếp nhau khi chỉ khi hệ phương trình

có nghiệm.

Nghiệm của hệ là hoành chừng tiếp điểm của nhị đồ gia dụng thị ê.

Đặc biệt: Đường trực tiếp nó = kx + m là tiếp tuyến với (C):y = f(x) khi chỉ khi hệ có nghiệm.

3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thông thường gặp

Cho hàm số nó = f(x) gọi đồ gia dụng thị của hàm số là (C)

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) bên trên M₀ (x₀; y₀)

Phương pháp

Bước 1. Tính y' = f' (x) suy đi ra thông số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y' (x₀).

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ gia dụng thị (C) bên trên điểm M₀ (x₀; y₀) sở hữu dạng

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) sở hữu thông số góc k mang đến trước.

Phương pháp

Bước 1. Gọi M₀ (x₀; y₀) là tiếp điểm và tính y' = f' (x).

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f' (x₀). . Giải phương trình này tìm kiếm ra x₀ thay cho vô hàm số được y₀.

Bước 3. Với từng tiếp điểm tao tìm kiếm ra những tiếp tuyến tương ứng

d: nó - y₀ = f' (x₀)(x - x₀)

Chú ý: Đề bài bác thông thường mang đến thông số góc tiếp tuyến bên dưới những dạng sau:

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ thông số góc của tiếp tuyến là k = a

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b(a ≠ 0)⇒ thông số góc của tiếp tuyến là k = -1/a

Tiếp tuyến tạo ra với trục hoành một góc α thì thông số góc của tiếp tuyến d là k = ±tan⁡α

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến trải qua điểm A(x_A; y_A)

Phương pháp

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến trải qua A(x_A; y_A) thông số góc k sở hữu dạng

d:y = k(x - x_A ) + y_A (*)

Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau sở hữu nghiệm:

Bước 3: Giải hệ này tìm kiếm ra x suy đi ra k và thế vô phương trình (*), tao được tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu.

Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x₀; f(x₀ )) là tiếp điểm và tính thông số góc tiếp tuyến

k = y'(x₀ ) = f' (x₀) theo đuổi x₀

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến sở hữu dạng d = y'(x₀ )(x - x₀ ) + y₀ (**). Do điểm A(x_A; y_A) ∈ d nên y_A = y'(x₀ )(x_A - x₀ ) + y₀ giải phương trình này tao tìm kiếm ra x₀ .

Bước 3. Thế x₀ vô (**) tao được tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu.

Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x³ + 3x². Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số bên trên điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta sở hữu y' = 3x² + 6x; y'(1) = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ gia dụng thị hàm số bên trên điểm M(1; 4) là:

y = 9(x - 1) + 4 = 9x - 5

Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = 4x³ - 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến trải qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta sở hữu y' = 12x² - 12x

Gọi M(x₀, y₀) là tọa chừng tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) bên trên điểm M sở hữu dạng:

y = (12x₀² - 12x_0> )(x - x₀ ) + 4x₀³ - 6x₀² + 1

Vì tiếp tuyến trải qua điểm A(-1; -9) nên tao có:

-9 = (12x₀² - 12x₀ )( -1 - x₀ ) + 4x₀³ - 6x₀³ + 1

Với .

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = 15/4 (x - 5/4) - 9/16 = 15/4 x - 21/4

Với x₀ = -1 thì .

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = 24(x + 1) - 9 = 24x + 15

Ví dụ 3: Cho hàm số (C):. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tuy vậy song với đường thẳng liền mạch sở hữu phương trình Δ:3x - nó + 2 = 0

Hướng dẫn

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta sở hữu y' = 3/(x + 2)² .

Phương trình Δ:3x - nó + 2 = 0 hoặc Δ:y = 3x + 2

Gọi tọa chừng tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Vì tiếp tuyến tuy vậy song với đường thẳng liền mạch sở hữu phương trình Δ:3x - nó + 2 = 0 nên tao sở hữu

Với x₀ = -1

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2 (loại).

Với x₀ = -3

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14 (thỏa mãn)

Quảng cáo

B. Bài tập dượt vận dụng

Câu 1: Cho hàm số nó = -2x³ + 6x² - 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) bên trên điểm M sở hữu hoành chừng vày 3.

Lời giải:

Ta sở hữu y' = -6x² + 12x; y' (3) = -18; y(3) = -5

Phương trình tiếp tuyến của đồ gia dụng thị hàm số bên trên điểm sở hữu hoành chừng vày 3 là

y = -18(x - 3) - 5 = -18x + 49

Xem thêm: Góc trời Âu giữa lòng Hà Nội, giới trẻ cứ giơ máy check-in là có ảnh đẹp

Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4x⁴ - 2x². Viết phương trình tiếp tuyến của (C) bên trên điểm M sở hữu hoành chừng x⁰ > 0 hiểu được y'' (x₀ )= -1.

Lời giải:

Ta sở hữu y' = x³ - 4x; y'' = 3x² - 4

Vì y'' (x₀ ) = -1 ⇒ 3x₀² - 4 = -1 ⇒ x₀² = 1 ⇒ x₀ = 1 (Vì x₀ > 0)

Với x₀ = 1 ⇒ y₀ = -7/4 ; y₀' = -3. Khi ê phương trình tiếp tuyến bên trên điểm M là:

y = -3(x - 1) - 7/4 = -3x + 5/4

Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ gia dụng thị hàm số (C):y =(x - 5)/(-x + 1) bên trên điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.

Lời giải:

Hoành chừng phó điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình

(x - 5)/(-x + 1) = 0 ⇒ x = 5

Khi ê tọa chừng điểm A = (5; 0)

ĐKXĐ x ≠ 1. Ta sở hữu y'= (-4)/(-x + 1)² ; y'(5) = -1/4

Phương trình đường thẳng liền mạch d đó là phương trình tiếp tuyến bên trên điểm A(5;0) sở hữu dạng

y = -1/4 (x - 5) = -1/4 x + 5 /4

Câu 4: Cho đồ gia dụng thị hàm số nó = 3x - 4x² sở hữu đồ gia dụng thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến trải qua điểm A(1; 3).

Lời giải:

Ta sở hữu y' = 3 - 8x

Gọi M(x₀ , y₀) là tọa chừng tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) bên trên điểm M sở hữu dạng:

y = (3 - 8x₀ )(x - x₀ ) + 3x₀ - 4x₀²

Vì tiếp tuyến trải qua điểm A(1; 3) nên tao có:

3 = (3 - 8x₀ )(1 - x₀ ) + 3x₀ - 4x₀²

Với x₀ = 0 thì .

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = 3(x - 0) + 0 = 3x

Với x₀ = 2 thì .

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = -13(x - 2) - 10 = -13x + 16

Câu 5: Cho hàm số nó = x³ - 3x² + 6x + 1 sở hữu đồ gia dụng thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến sở hữu thông số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi M(x₀,y₀) là tọa chừng tiếp điểm.

Ta sở hữu y' = 3x² - 6x + 6

Khi ê y' (x₀ )=3x₀² - 6x₀ + 6 = 3(x₀² - 2x₀ + 2) = 3[(x₀ - 1)² + 1] ≥ 3

Vậy thông số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y' (x₀) = 3, vệt vày xẩy ra khi x₀ = 1

Với x₀ = 1 thì

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = 3(x - 1) + 5 = 3x + 2

Câu 6: Cho hàm số (C):y = x³ - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ê sở hữu thông số góc vày 9.

Lời giải:

Gọi M(x₀, y₀) là tọa chừng tiếp điểm.

Ta sở hữu y' = 3x² - 3

Khi ê y'(x₀ ) = 3x₀₂ - 3 = 9

Với x₀ = 2 thì

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = 9(x - 2) + 4 = 9x - 14

Với x₀ = -2 thì .

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = 9(x + 2) + 0 = 9x + 18

Câu 7: Cho hàm số nó = (-x + 5)/(x + 2) sở hữu đồ gia dụng thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao mang đến tiếp tuyến ê tuy vậy song với đường thẳng liền mạch d:y = -1/7 x + 5/7

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta sở hữu y' = (-7)/(x + 2)² .

Gọi tọa chừng tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Vì tiếp tuyến tuy vậy song với đường thẳng liền mạch sở hữu phương trình d:y = -1/7 x + 5/7 nên tao sở hữu

Với

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = -1/7 (x - 5) + 0 = -1/7 x + 5/7 (loại).

Với x₀ = -9

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = -1/7 (x + 9) - 2 = -1/7 x - 23/7 (thỏa mãn).

Quảng cáo

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số nó = -x⁴ - 2x² + 3 vuông góc với đường thẳng liền mạch Δ: x - 8y + 2017 = 0

Lời giải:

Ta sở hữu y'= -4x³ - 4x.

Gọi tọa chừng tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Phương trình Δ:x - 8y + 2017 = 0 hoặc Δ: nó = 1/8 x + 2017/8

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng liền mạch sở hữu phương trình d:y = 1/8 x + 2017/8 nên tao có

y'(x₀ ) = -8 hoặc -4x₀³ - 4x₀ = -8 ⇔ x₀ = 1

Với

Khi ê phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là nó = -8(x - 1) + 0 = -8x + 8 (thỏa mãn).

Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số nó = 1/3 x³ + một nửa x² - 2x + 1 và tiếp tuyến tạo ra với đường thẳng liền mạch d:x + 3y - 1 = 0 một góc 45₀.

Lời giải:

Gọi tọa chừng tiếp điểm là M(x₀, y₀).

Có y' = x₂ + x - 2

Phương trình đường thẳng liền mạch d: x + 3y - 1 = 0 ⇔ nó = -1/3 x + 1/3

Vì tiếp tuyến tạo ra với đường thẳng liền mạch d: x + 3y - 1 = 0 một góc 45⁰ nên tao sở hữu

Với

. Phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là:

. Phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là:

Với

x₀ = 0 ⇒ y(x₀ )= 1. Phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là:

y = -2(x - 0) + 1 = -2x + 1

x₀ = -1 ⇒ y(x₀ ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là:

y = -2(x + 1) + 19/6 = -2x + 7/6

Vậy những phương trình tiếp tuyến cần thiết tìm hiểu là: ;

nó = -2x + 1; nó = -2x + 7/6

Xem tăng những dạng bài bác tập dượt Toán lớp 12 sở hữu vô đề ganh đua trung học phổ thông Quốc gia khác:

• Trắc nghiệm viết lách phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
• Dạng 2: Các Việc về tiếp tuyến của hàm số
• Trắc nghiệm về tiếp tuyến của hàm số

Săn SALE shopee mon 9:

• Đồ người sử dụng học hành giá thành tương đối mềm
• Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

tiep-tuyen.jsp

Xem thêm: Người già nhắc nhở: ''Ăn tránh ba, đũa tránh năm, tiệc tránh sáu'', càng cố ý phạm càng khổ