công thức tính tích phân

Bài viết lách Công thức tích phân với cách thức giải cụ thể gom học viên ôn tập dượt, biết phương pháp thực hiện bài xích tập dượt Công thức tích phân.

Bạn đang xem: công thức tính tích phân

Công thức tích phân rất đầy đủ, cụ thể nhất

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích S, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

I. Định nghĩa, công thức tích phân

Quảng cáo

1. Khái niệm tích phân

* Định nghĩa:

Cho hàm số f liên tiếp bên trên K và a, b là nhị số bất kì nằm trong K. Nếu F là một trong nguyên vẹn hàm của f bên trên K thì hiệu số:

F(b) - F(a)

Được gọi là tích phân của f kể từ a cho tới b và kí hiệu:

* Nhận xét: Tích phân của hàm số f kể từ a cho tới b hoàn toàn có thể kí hiệu vị

Tích phân bại liệt chỉ tùy thuộc vào f và những cận a; b tuy nhiên ko tùy thuộc vào cơ hội ghi thay đổi số.

* Định lí: Cho hàm số nó = f(x) liên tục; ko âm bên trên đoạn [a;b]. Khi bại liệt, diện tích S S của hình thang cong số lượng giới hạn vị đồ dùng thị hàm số nó = f(x); trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b là:

Quảng cáo

2. Tính hóa học của tích phân

Giả sử mang lại nhị hàm số f(x) và g(x) liên tiếp bên trên K và a, b, c là tía số ngẫu nhiên nằm trong K. Khi bại liệt tớ đem :

II. Một số cách thức tính tích phân

1. Phương pháp thay đổi thay đổi số

1.1. Phương pháp thay đổi thay đổi số dạng 1

Định lí

Nếu:

1) Hàm x = u(t) đem đạo hàm liên tiếp bên trên [α;β].

2) Hàm hợp ý f [u(t)] được xác lập bên trên [α;β].

3) u(α) = a; u(β) = b.

Khi đó:

Quảng cáo

Phương pháp chung

• Bước 1: Đặt x = u(t).

• Bước 2: Tính vi phân nhị vế: x = u(t) ⇒ dx = u'(t)dt.

Đổi cận:

• Bước 3: Chuyển tích phân vẫn mang lại lịch sự tích phân theo gót thay đổi t.

Vậy:

1.2. Phương pháp thay đổi biến dị 2

Định lí

Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và đem đạo hàm liên tiếp bên trên đoạn [a;b] sao mang lại f(x)dx = g(u(x))u'(x)dx = g(u)du thì:

Phương pháp chung

• Bước 1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx

• Bước 2: Đổi cận:

• Bước 3: Chuyển tích phân vẫn mang lại lịch sự tích phân theo gót u.

Vậy:

2. Phương pháp tích phân từng phần

a. Định lí

Nếu u(x) và v(x) là những hàm số đem đạo hàm liên tiếp bên trên [a;b] thì:

b. Phương pháp chung

• Bước 1: Viết f(x)dx bên dưới dạng udv = u.v’dx bằng phương pháp lựa chọn 1 phần tương thích của f(x) thực hiện u(x) và phần còn sót lại dv = v'(x)dx

• Bước 2: Tính du = u'dx và v = ∫dv = ∫v'(x)dx

• Bước 3: Tính

* Cách bịa đặt u và dv nhập cách thức tích phân từng phần.

Quảng cáo

III. Tích phân những hàm số sơ cấp cho cơ bản

3.1. Tích phân hàm hữu tỉ

Dạng 1

(với a ≠ 0)

Chú ý: Nếu

Dạng 2

(ax² + bx + c ≠ 0 với từng x ∈ [α;β])

Xét Δ = b² - 4ac.

• Nếu Δ > 0 thì

thì:

• Nếu Δ = 0 thì:

thì:

• Nếu Δ < 0 thì:

Dạng 3

(trong bại liệt liên tiếp bên trên đoạn [α;β])

• phẳng phiu cách thức hệt nhau thông số, tớ mò mẫm A và B sao cho:

• Ta có:

Tích phân:

Tích phân: nằm trong dạng 2.

Dạng 4

với P(x) và Q(x) là nhiều thức của x.

• Nếu bậc của P(x) to hơn hoặc vị bậc của Q(x) thì sử dụng quy tắc phân chia nhiều thức.

• Nếu bậc của P(x) nhỏ rộng lớn bậc của Q(x) thì hoàn toàn có thể xét những ngôi trường hợp:

• Khi Q(x) chỉ mất nghiệm đơn α₁, α₂, α₃ ... thì đặt

• Khi Q(x) đem nghiệm đơn và vô nghiệm:

Q(x) = (x - α)(x² + px + q), Δ = p² - 4q < 0 thì đặt:

• Khi Q(x) đem nghiệm bội:

Q(x) = (x - α)(x - β)² với α ≠ β thì đặt:

Q(x) = (x - α)²(x - β)³ với α ≠ β thì đặt:

3.2. Tích phân hàm vô tỉ

- nhập bại liệt R(x; f(x)) đem dạng:

Dạng 1

Khi bại liệt tớ có:

• Nếu Δ < 0, a > 0 ⇒ f(x) = a(u² + k²)

• Nếu: Δ = 0

• Nếu: Δ > 0

    Với a > 0: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

    Với a < 0: f(x) = -a(x₁ - x)(x₂ - x)

Căn cứ nhập phân tách bên trên, tớ đem một vài cơ hội giải sau:

Phương pháp:

* Trường hợp: Δ < 0, a > 0 ⇒ f(x) = a(u² + k²)

Xem thêm: Đổ thứ nước uống này vào hấp mực: Mực hết sạch mùi tanh, thơm ngon ngọt thịt

Khi bại liệt đặt:

* Trường hợp: Δ = 0

Khi đó:

* Trường hợp: Δ > 0, a > 0. Đặt:

* Trường hợp: Δ > 0, a < 0. Đặt:

Dạng 2

Phương pháp:

• Bước 1:

Phân tích:

• Bước 2:

Quy đồng hình mẫu số, tiếp sau đó hệt nhau thông số nhị tử số nhằm suy rời khỏi hệ nhị ẩn số A, B

• Bước 3:

Giải hệ mò mẫm A, B thay cho nhập (1)

• Bước 4:

Tính:

Trong bại liệt đã hiểu phương pháp tính phía trên.

Dạng 3

Phương pháp:

• Bước 1:

Phân tích:

• Bước 2:

• Bước 3:

Thay toàn bộ nhập (1) thì I đem dạng:

Tích phân này tất cả chúng ta đã hiểu phương pháp tính.

Dạng 4

(Trong đó: R(x,y) là hàm số hữu tỷ so với nhị thay đổi số x, nó và α, β, γ, δ là những hằng số vẫn biết)

Phương pháp:

• Bước 1:

Đặt:

• Bước 2:

Tính x theo gót t: phẳng phiu cơ hội nâng lũy quá bậc m nhị vế của (1) tớ đem dạng x = φ(t).

• Bước 3:

Tính vi phân nhị vế: dx = φ'(t)dt và thay đổi cận.

• Bước 4:

Tính:

3.3. Tích phân dung lượng giác

3.3.1. Một số công thức lượng giác

* Công thức cộng

* Công thức nhân đôi

* Công thức hạ bậc

* Công thức tính theo gót t

* Công thức biến hóa tích trở nên tổng

* Công thức biến hóa tổng trở nên tích

* Công thức thông thường dùng:

Hệ quả:

3.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

• Nếu gặp gỡ dạng tớ bịa đặt t = sinx.

• Nếu gặp gỡ dạng tớ bịa đặt t = cosx.

• Nếu gặp gỡ dạng tớ bịa đặt t = tanx.

• Nếu gặp gỡ dạng tớ bịa đặt t = cotx.

Dạng 1

I₁ = ∫(sinx)ⁿ dx; I₂ = ∫(cosx)ⁿ dx

* Phương pháp

• Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc.

• Nếu n = 3 thì dùng công thức hạ bậc hoặc biến hóa.

• Nếu n lẻ (n = 2p + 1) thì triển khai thay đổi đổi:

Dạng 2

I = ∫sin^mx.cosⁿx dx (m, n ∈ N)

* Phương pháp

• Trường hợp ý 1: m, n là những số nguyên

a. Nếu m chẵn, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc, biến hóa tích trở nên tổng.

b. Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì thay đổi đổi:

c. Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì thay đổi đổi:

Dạng 3

I₁ = ∫(tanx)ⁿ dx; I₂ = ∫(cotx)ⁿ dx (n ∈ N)

IV. Ứng dụng tích phân

1. Diện tích hình phẳng

a. Diện tích hình phẳng phiu số lượng giới hạn vị 1 đàng cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng phiu số lượng giới hạn vị đồ dùng thị hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b], trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b được xác định:

b. Diện tích hình phẳng phiu số lượng giới hạn vị 2 đàng cong

Diện tích hình phẳng phiu số lượng giới hạn vị đồ dùng thị hàm số nó = f(x); nó = g(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b] và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b được xác định:

- Nếu bên trên đoạn [a;b], hàm số f(x) ko thay đổi vệt thì:

- Nắm vững vàng phương pháp tính tích phân của hàm số đem chứa chấp độ quý hiếm vô cùng.

- Diện tích của hình phẳng phiu số lượng giới hạn vị những đàng x = g(y),x = h(y) và hai tuyến phố trực tiếp nó = c; nó = d được xác định:

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn trĩnh xoay

a. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể số lượng giới hạn vị nhị mặt mày phẳng phiu vuông góc với trục Ox bên trên những điểm a và b; S(x) là diện tích S tiết diện của vật thể bị hạn chế vị mặt mày phẳng phiu vuông góc với trục Ox bên trên điểm a (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tiếp bên trên đoạn [a;b]. Thể tích của B là:

b. Thể tích khối tròn trĩnh xoay

Cho hàm số nó = f(x) liên tục; ko âm bên trên [a;b]. Hình phẳng phiu số lượng giới hạn vị đồ dùng thị hàm số nó = f(x); trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b xoay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn trĩnh xoay. Thể tích của chính nó là:

- Thể tích khối tròn trĩnh xoay được sinh rời khỏi khi cù hình phẳng phiu số lượng giới hạn vị những đàng x = g(y), trục tung và hai tuyến phố trực tiếp nó = c; nó = d xoay quanh trục Oy là:

- Thể tích khối tròn trĩnh xoay được sinh rời khỏi khi cù hình phẳng phiu số lượng giới hạn vị những đàng nó = f(x); nó = g(x) và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b xoay quanh trục Ox:

Xem tăng những dạng bài xích tập dượt Toán lớp 12 đem nhập đề đua trung học phổ thông Quốc gia khác:

• Bài tập dượt về đặc thù của tích phân
• Bài thói quen tích phân cơ bản
• Tính tích phân hàm nhiều thức, phân thức vị cách thức thay đổi thay đổi số
• Tính tích phân dung lượng giác vị cách thức thay đổi thay đổi số
• Tính tích phân hàm số nón, logarit vị cách thức thay đổi thay đổi số
• Tính tích phân hàm chứa chấp căn thức vị cách thức thay đổi thay đổi số
• Cách tính tích phân vị cách thức thay đổi thay đổi số loại 2

Săn SALE shopee mon 9:

• Đồ sử dụng học hành giá cực rẻ
• Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Xem thêm: 3 con giáp nữ cả đời không thiếu tiền, chồng yêu thương cưng chiều hết mực