cấp số nhân lùi vô hạn

1. Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Bạn đang xem: cấp số nhân lùi vô hạn

Như tất cả chúng ta vẫn biết, cấp cho số nhân rất có thể được hiểu là một trong những sản phẩm số (vô hạn hoặc hữu hạn) tuy nhiên những số hạng vô bại liệt, Tính từ lúc số hạng loại nhì trở cút, đều là tích của số hạng đứng tức thì trước nó với q (q là một vài ko đổi).

Cấp số nhân $U_{n}$ được xác lập bởi: $u_{1}=a,u_{n+1}=u_{n}.q (n\epsilon N^{*})$, q được gọi là công bội.

Như vậy, rất có thể hiểu cấp cho số nhân với dạng: $x,xq,xq^{2},xq^{3},xq^{4},...$ với x là số hạng trước tiên và q là công bội.

Ví dụ: cấp cho số nhân với số hạng đầu là 3, vô tư 2 là: 3;6;12;18;36,...

Ta với định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn như sau:

Cấp số nhân lùi vô hạn là một trong những cấp cho số nhân tuy vậy với công bội q với $\left | q \right |< 1$.

Ví dụ: Các sản phẩm số sau đều là cấp số nhân lùi vô hạn:

a, $1;\frac{1}{5};\frac{1}{5^{2}};...;\frac{1}{5^{n-1}};...$

b, $2;-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{3^{2}};...;\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{1}{2^{n-2}};...$

c, $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$

2. Công thức tính tổng những cấp số nhân lùi vô hạn và ví dụ minh họa

Tổng của toàn bộ những số hạng vô một cấp số nhân lùi vô hạn là một trong những độ quý hiếm hữu hạn và trọn vẹn rất có thể tính được. 

Giả sử tớ với cấp số nhân lùi vô hạn $U_{n}$. 

Khi bại liệt tổng của những số hạng nằm trong $U_{n}$ là:

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n-1}+u_{n}$
$\Rightarrow S_{n}=u_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Giới hạn nhì vế tớ tiếp tục được:

$S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Đây cũng đó là công thức tính tổng những cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $U_{n}$ với $U_{n}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}$

Lời giải: 

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{3},q=\frac{1}{3}$

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

$S=\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 4, công bội là ½. Hãy tính tổng toàn bộ những số hạng nằm trong cấp cho số nhân bại liệt.

Lời giải:

Áp dụng công thức tớ tính được tổng toàn bộ những số hạng của cấp cho số nhân bại liệt là:

$S=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

Đăng ký tức thì và để được những thầy cô tư vấn và thiết kế quãng thời gian ôn ganh đua trung học phổ thông đạt 9+ môn Toán

3. Một số bài xích tập luyện trắc nghiệm tổng cấp số nhân lùi vô hạn (có điều giải)

Câu 1: Cấp số nhân lùi vô hạn tại đây với tổng những số hạng là:

$\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}};...$

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{1}{9}$

D. $\frac{1}{3}$

Lời giải: Đây là cấp cho số nhân vô hạn với $u_{1}=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{2}$

Tổng S là S=$\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$

Đáp án cần thiết chọn: D. 13

Câu 2: $U_{n}=-1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{8};...;\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n-1}...S_{n}$ với thành phẩm bằng?

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{5}{3}$

Lời giải: Ta xác lập được $u_{1}=1,q=-\frac{1}{2}$

Tổng $S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

Đáp án nên chọn C.$\frac{2}{3}$

Câu 3: Tìm số hạng tổng quát mắng của cấp số nhân lùi vô hạn Lúc với tổng vì chưng 3 và công bội vì chưng $\frac{2}{3}$:

A. 1

B. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}$

C. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n-1}$

D. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n+1}$

Lời giải: $S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{u_{1}}{1-\frac{2}{3}}=3=>u_{1}=1$

Đáp án cần thiết chọn: C.$\left ( \frac{2}{3} \right )^{n-1}$

Câu 4: Hãy mò mẫm tổng của sản phẩm số sau:

$-1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}-\frac{1}{8},...\frac{-1^{n}}{10^{n-1}}...$

A. $\frac{1}{11}$

B. $\frac{5}{11}$

C. $\frac{8}{11}$

D. $-\frac{10}{11}$

Lời giải: $U_{n}=\frac{-1^{n}}{10^{n-1}};U_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{10^{n-1}+1}$
$\Rightarrow U_{n+1}=-\frac{1}{10}U_{n}$

Tổng những số lập trở nên một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=-1, q=-\frac{1}{10}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{-1}{1+\frac{1}{10}}=\frac{-10}{11}$

Đáp án cần thiết chọn: D. $\frac{-10}{11}$

Câu 5: Tổng của một vài nhân lùi vô hạn với thành phẩm là $\frac{5}{3}$ trong bại liệt tổng 3 số hạng đầu vì chưng $\frac{39}{25}$. Hãy mò mẫm $u_{1}$ và q cấp cho số đó?

A. $u_{1}=1,q=\frac{2}{5}$

B. $u_{1}=1,q=-\frac{2}{5}$

C. $u_{1}=-1,q=\frac{2}{5}$

D. $u_{1}=-1,q=-\frac{2}{5}$

Lời giải: 

Đáp án cần thiết chọn: A. $u_{1}=1,q=\frac{2}{5}$

Câu 6: Tính tổng S của $U_{n}$:

$U_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}$

A. $\frac{1}{3}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $-\frac{2}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cấp cho số nhân có: $u_{1}=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{2}$

=> $S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $\frac{1}{3}$

Câu 7: Tổng của cấp cho số nhân sau là:

$\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};...;\frac{(-1)^{k}}{2^{n}};...$

A. $\frac{1}{3}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $-\frac{1}{3}$

D. -1

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cấp cho số nhân có: $u_{1}=\frac{-1}{2},q=\frac{-1}{2}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{-1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{-1}{3}$

Đáp án cần thiết chọn: B.$\frac{-1}{3}$

Câu 8: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $\frac{1}{3};-\frac{1}{9};\frac{1}{27};...;\frac{(-1)^{n+!}}{3^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. 4

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cấp cho số nhân có:

$u_{1}=\frac{1}{3},q=\frac{-1}{3}$
=>$S= \frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$

Đáp án cần thiết chọn: A.$\frac{1}{4}$

Câu 9: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$2;-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};...\frac{(-1)^{n+!}}{2^{n}};...$

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $-\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải:

Xem thêm: Từ tháng 10/2023: Ai chưa đổi biển số cũ sang biển số xe định danh làm ngay 1 việc để không bị phạt

$U_{n}$ đó là cấp cho số nhân có: $u_{1}=2,q=\frac{-1}{2}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{2}{\frac{1}{2}+2}=\frac{4}{3}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $\frac{4}{3}$

Câu 10: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn tại đây là:

$3;-1;\frac{1}{3};-\frac{1}{9};\frac{1}{27};...;\frac{(-1)^{n+!}}{3^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{9}{4}$

D. 4

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cấp cho số nhân có: $u_{1}=3,q=\frac{-1}{3}$
=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{3}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{4}$

Đáp án cần thiết chọn: C. $\frac{9}{4}$

Câu 11: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$-\frac{1}{4};\frac{1}{16};-\frac{1}{64};...;\frac{(-1)^{n}}{4^{n}};...$

A. $-\frac{1}{5}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $-\frac{5}{16}$

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cấp cho số nhân có: $u_{1}=\frac{-1}{4},q=\frac{-1}{4}$

S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=-\frac{1}{5}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $-\frac{1}{5}$

Câu 12: Câu này bên dưới đấy là đáp án đúng:

A. Cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q thì tổng S=$\frac{u_{1}}{1-q}$

B. $u_{1}=3,q=\frac{-1}{3}$
=>S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}$

C. Cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=15, S=60=>q=\frac{3}{4}$

D. Cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=-4, S=-169=>q=-\frac{5}{4}$

Đáp án cần thiết chọn: C. Vì  q=$\frac{3}{4}$<1 => Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với S=$\frac{u_{1}}{1-q}=60$

Câu 13: Cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=-50, S=100$. Tìm 5 số hạng đầu của cấp cho số đó

A. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,25

B. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,125

C. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125

D. 50; 25; 12,25; 6,125; 3,025

Lời giải: Dựa vô công thức tính tổng tớ tính được q=$\frac{1}{2}$

Chọn đáp án C

Câu 14: Cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=-1,q=x$ .Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn đó:

A. $-1;x;-x^{2}$

B. $-1;x;x^{2}$

C. $-1;-x;-x^{2}$

D. $1;x;-x^{2}$

Đáp án cần thiết chọn: C. $-1;-x;-x^{2}$

Câu 15: Cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=-x, q=x^{2}$.Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn đó:

A. $-x;x^{3};x^{5}$

B. $-x;x^{3};x^{4}$

C. $-x;x^{3};x^{6}$

D. $-x;-x^{3};-x^{6}$

Đáp án cần thiết chọn: D. $-x;-x^{3};-x^{6}$

Câu 16: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$5;\sqrt{5};1;\frac{1}{\sqrt{5}};...$

A. $\frac{5\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$

B. $\frac{5\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}$

C. $\frac{1-\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$

D. $\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cấp cho số nhân có: $u_{1}=5,q=\frac{1}{\sqrt{5}}$

S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{5}{1+\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Đáp án cần thiết chọn: D. $\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Câu 17: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: -3; 0,3; -0,03; 0,003;...

A. $-2\frac{8}{11}$

B. $\frac{30}{11}$

C. $-\frac{11}{30}$

D. $\frac{11}{30}$

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cấp cho số nhân có: $u_{1}=-3,q=0,1$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{-3}{1+0,1}=-2\frac{8}{11}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $-2\frac{8}{11}$

Câu 18: Tính: S=$2-\sqrt{2}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+...$

A. $4+2\sqrt{2}$

B. $4-2\sqrt{2}$

C. $-4+2\sqrt{2}$

D. $-4-2\sqrt{2}$

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cấp cho số nhân có: $u_{1}=2,q=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{2}{1-1\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$

Đáp án cần thiết chọn: B. $4-2\sqrt{2}$

Câu 19: Tìm q của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{64};...;\frac{(1)^{n}}{4^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. 4

C. -4

D. $-\frac{1}{4}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $\frac{1}{4}$

Câu 20: Một cấp số nhân lùi vô hạn với tổng những số hạng vì chưng 56, tổng bình phương những số hạng vì chưng 448. Số hạng trước tiên của cấp cho số nhân bại liệt là?

A. 13

B. 14

C. 15

D. 16

Lời giải: 

$\left\{\begin{matrix}
S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}=56\\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}=449\end{matrix}\right.$

 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u_{1}=56(1-q)\\ u_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4}+...+q^{2n-2})=448\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{1}^{2}.\frac{1}{1-q^{2}}=448$
$\Rightarrow \frac{56^{2}(1-q)}{1+q}=448\Rightarrow q=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow u_{1}=14$

Hy vọng sau nội dung bài viết này, những em học viên vẫn cầm được cấp số nhân lùi vô hạn là gì, ghi ghi nhớ công thức và hiểu rằng phương pháp tính tổng những số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn vô lịch trình Toán 11. Chúc những em ôn tập luyện thiệt chất lượng và đạt thành phẩm cao. Hãy truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện nhằm học tập tăng nhiều bài học kinh nghiệm có lợi không giống nhé!

>>> Bài ghi chép còn rất có thể tìm hiểu thêm thêm:

Cấp số nằm trong là gì? Các công thức cấp cho số nằm trong hoặc nhất

Cấp số nhân là gì? Tổng phù hợp những công thức cấp cho số nhân và bài xích tập

Tổng phù hợp những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân & bài xích tập

Xem thêm: Top con giáp nam dễ bị tiền làm biến chất, dễ trở nên hư hỏng